Hallo und herzlich willkommen zu dieser Vorlesung Mathematik für Physik Studierende C. Wir haben

uns in der letzten Vorlesung mit einem ganz wichtigen Konzept beschäftigt, nämlich dem

Cotangentialbündel, was uns dann direkt auf die Eins-Differential-Formen geführt hat, da wo

wir auch im Endeffekt hinwollen. Und der letzte Baustein, der uns jetzt als abstrakt ist oder

der als abstrakter Überbau jetzt gerade noch fehlt, sind sogenannte Tensorfelder, was eben

eine Spezialform von Vektorfeldern, auch wieder ein Spezialform von einem Vektorfeld sein wird.

Beziehungsweise dafür braucht man zunächst erstmal das Tensorbündel. Das werden wir heute noch uns

anschauen. Es werden hauptsächlich Konzepte eingeführt, um ein bisschen Zeit zu sparen,

nachdem wir ein bisschen hinterher sind. Wir werden heute keine Beweise machen. Die Beweise werden

teilweise auf die Übung ausgelagert oder auch, wie wir es vorher schon gemacht haben, in der

Literatur dann einfach nachzulesen sein. Ansonsten sind die Konzepte, die wir anführen, trotzdem

sehr wichtig, auch wenn wir die Beweise jetzt nicht unbedingt machen werden. Okay, gut. Also das Thema

der heutigen Vorlesung sind also Tensorfelder bzw. Tensorbündel und Tensorfelder. Ich meine,

das Konzept ist uns mittlerweile relativ vertraut. Wie machen wir unseren Bündel? Wie machen wir

unseren Feld? Das haben wir jetzt schon mehrmals gesehen. Und genau das wollen wir jetzt auch hier

machen. Und deshalb müssen wir uns zuerst einmal anschauen, wie soll denn das Tensorprodukt von zwei

Bündeln aussehen? Okay, also fangen wir an. Assign pie von e nach b und pie f von f nach b

b, zwei Bündel. Okay, das ist die Ausgangssituation. Ja und dann kommt die Frage, was soll e tensor

F bedeuten. Also wie sollen wir dieses Tensor Produkt Symbol hier interpretieren, weil eigentlich

kann man es ja nur für Vektorräume. Jetzt sind es do. E und F sind ja a priori keine Vektorräume,

sondern das sind eben Mannigh-Faltigkeiten. Wie soll man das machen? Naja, wir wissen ja eins,

1. Wir wissen, dass für jedes P aus B die Phasen, ja was waren nochmal die Phasen? Das

war einmal E P, das war definiert als P E Invers von P und genauso FP wird definiert als P Invers

F von P. Diese Phasen von denen wissen wir, wissen dass für jedes P die Phasen Vektorräume sind.

Aha, jetzt sind also diese Phasen, die hier sind Vektorräume und wenn die Vektorräume sind,

dann können wir da auf das Zensorprodukt betrachten, weil das kennen wir, das haben wir

eingeführt. Heißt somit können wir E P, Zensorprodukt, FP betrachten. Ja, schau

uns hier hin. Ok, dieses E P, Zensorprodukt, FP ist aber wieder ein Vektorraum. Das gibt

uns nach der Definition vom Zensorprodukt wieder ein Vektorraum. Zensorproduktraum ist ein Vektorraum.

Naja und damit haben wir eigentlich schon einen guten Guess, was wir als Zensorbündel definieren

können, nämlich wir definieren oder wir können somit, das hat jetzt nichts damit zu tun, dass

es ein Vektorraum ist, aber auch und jetzt kommt hier die Desjungte Vereinigung aus P aus B, E P,

Tensor, FP betrachten. Ist klar, ne? Also wir hatten hier oben, haben wir es eben angegangen, haben gesagt, ok, wir wollen das

Tensorprodukt von zwei Bündeln betrachten, aber was soll das sein? Das war uns nicht so ganz klar,

weil das sind keine Vektorräume. Naja, aber dann haben wir uns erinnert, ja stimmt ja eigentlich,

diese Fasern sind ja Vektorräume für jedes P. Das ist ja auch so, wie wir mal das Tangenzialbündel

und so konstruiert haben, dass wir uns für jedes P irgendeinen Vektorraum angeschaut haben, dann

zum Beispiel den Tangenzialbündel. Ja gut, aber wenn das ja Vektorräume sind, dann ist das

Tensorprodukt darauf definiert, das kennen wir, das Tensorprodukt für Vektorräume. Naja und dann können

wir das eben für jedes P, können wir damit EP, Tensor, FP betrachten und so das Jungt

vereinigen und das führt uns genau auf das Tensorbündel. Und was man dann eben auch zeigen

kann, ist, dass das so definierte Tensor oder dass das so definierte Struktur wieder ein Bündel ist.

Das werden sie in der Übung machen, weil das ist ein ganz netter Beweis. Das ist eigentlich

eine Rechenaufgabe, wenn man es so sieht, weil man da mal ein bisschen mit den Sachen rumrechnen

kann. Wir formulieren es jetzt mal als Lämmer. Oder beziehungsweise sollten wir erstmal die

Definition machen. Schreiben wir erstmal vielleicht die Definition auf. Danach das Lämmer für zwei

Vektorbündel, Pi e von e nach b und Pi f von f nach b gilt das oder nicht gilt, sondern

definieren wir, definieren wir, das ist die erste Definition, definieren wir Pi von e Tensor f,

so schreiben wir das jetzt auf, von e Tensor f nach b, wobei e Tensor f eben gerade definiert

ist als die disjunkte Vereinigung über die Tensorprodukte der Phasen, Ep Tensor fp und